数与形教学设计
教学内容：教科书第107~108页例1、例2.
教学过程：
(一)体会形中有数，数中有形，数形相关
I.谈话引入
师：提到“数学”,你会想到什么?
生：数字、图形、运算符号、小数… ·...-
师：如果把刚才同学们说的内容分类， 一类可称为“数”,另一类是“形”,数”和“形”是数学中两类 最主要的研究对象。那么，数与形之间有没有关系呢?(个别学生点头，大多数学生沉默)有的 同学凭着感觉认为有，有的同学从来没有思考过这个问题,看看通过今天这节课的学习，你们有
没有新的认识。
板书：数形
2.教学例1
师：这是一组图形，你发现它们之间的规律了吗?请用数或式子表示你发现的规律。
学生思考、表达，教师巡视、采样，然后全班交流。
板书规律一：1 4 9 16
师：谁能读懂这位同学发现的规律?说一说这些数的含义是什么。
生：“1”表示第一幅图有1个小正方形，4”表示第二幅图有4个小正方形、“9"表示第三幅图有9
个小正方形，“16”表示第四幅图有16个小正方形。
板书规律二：1×1 2×2 3×3 4×4
师，很多同学是这样写的，这个规律表示什么意思?
生：第一个图形的边长是1,所以用1×1表示小正方形的个数，第二个图形的边长是2所以用2
×2表示小正方形的个数，第三个图形的边长是3,所以用3×3表示小正方形的个数，接下来是
4X4表示小正方形的个数。
板书规律三：11十31+3+51十3十5十7
师：我还发现有的同学是这样写的，这是什么规律?
生：“1”是指第一个图形有1个小正方形；“1+3”表示在第一个图形的基础上增加了3个小正方形：
“1十3+5”表示在第二个图形的基础上增加了5个小正方形… ·
师：谁能在图上指一指1、3、5、7分别在哪里?
教师在学生指的地方对应写数：
师：这位同学观察的角度比较特别，我们用不同颜色把他发现的规律表示出来，(教师用彩色磁条
在图形上分别表示出3、5、7的位置)
师：这几种观察规律的角度有什么不一样?
生；规律一是从小正方形的数量来观察的,规律二是从图形边长相等的特点来观察和表示的，规
律三是从图形外围增加的小正方形个数来观察的。
的,规律三是从图形外围增加的小正方形个数来观察的。
师，尽管观察的角度不同，但同学们都能用数来表达它的规律，对吗?
生(齐声):对!
师：如果沿着1+3+5+7这个规律继续往下想，1+3+5+7+9+11十13这个式子对应的图形是什
么样子的?
生：我认为是边长为7的正方形。
师，给大家讲讲，为什么是边长为7的正方形?
生(上黑板前演示),因为图形右上角的小正方形是重叠的(学生的意思是，这个小正方形既包 含在最上边的横行中,也包含在最右边的竖列中),应该用13加1等于14,再用14除以2等于
7,所以边长是?。
师，还有不同的方法吗?
生；我是用数的方法。 一共有1、2、3、4、5、6、7,7步。这个已经是4步了，再加3等于
7,
师：你给大家再数一下，7在哪儿?
生：1、2、3、4、5、6、7,一共7个数相加，所以边长是7-
师：同学们真棒!你们通过算或数的方法，都找到了这个算式对应的图形，它是边长为7的正方
形，也就是1+3+5+7+9十11+13=72。那么，1十3+5+7+9+11+13+15+17+19这个算式
对应的图形又是什么样子的?等于几的平方呢?
生《齐声>:边长为10的正方形，等于10的平方。
师：为什么?
生：因为算式中有10个加数。
师：也就是1+3+5+7+9411+13十15十17+19=102,回候研究这个问题的过程，同学们在图
形中看到数的影子，在数中想到图形的样子。你们觉得数和形之间有没有关系?
生(齐声),有!
师：对，数中有形、形中有数，数形间有关系。那么，数和形之间有着怎样的关系呢?我们接着
探究。
(二)体会以形助数，以数解形，数形互助
1、教学例2
出示：
师：观察这个算式，它有什么特点?
生：后一个分数是前一个分数的二分之一
师：算式中的省略号是什么意思?
生：后边还有很多数，无数个。
师：“无数个”就是没有尽头的意思。按照这样的规律没有尽头地加下去，它的和等于多少?(学
生沉默)
师：没感觉是吧?没关系!同学们可以借助图形找找感觉。
出示练习纸；
师：请你从右面3个图形中任选一个，然后在你选择的图形中找到它的,在的基础上加上它的
再加上它的,按算式的要求一直加下去，看看能不能找到和是多少。
学生操作，教师巡视、指导，然后全班交流。
出示学生作品一：
师：仔细观察，这位同学先通过平分找到圆的,然后在的基础上做什么?
生：继续平分
师：如果继续往下加，下一个数加在哪里?
生：加在空白部分。
师：算式的意思就是在空白处不停地加下去，
出示学生作品2:
师：这位同学是用线段图表示的，他先找到线段的 ,然后
算式中的省略号表示哪里?
生：右边的空白处。
师：感受一下，这样一直加下去，和应该是多少?
有几位学生指出和等于1,大部分学生认为和无限接近于1.
师：老师用正方形再来演示一下加的过程。
课件出示
师：按这样的规律加下去，和是多少?
生：1。
生：无限接近于1。
学生意见不统一，相互争论起来。
师：有的同学认为等于1:有的同学觉得越来越接近1,但不等于1。意见不一致!我们不着急得
到最终结果，先来看看同学们画图的收获。刚开始同学们看到这个算式一点感觉都没有，不知
道和是多少。通过画图，同学们知道它的和与谁有关系?
生(齐声):1
师：无论是觉得等于1,还是觉得和1差一点，起码我们有了一个方向，觉得结果与1有关系!这 就是图的好处，它能帮助我们找到一种感觉、 一个方向。但是，我们还有困惑，结果到底是等
于1,还是接近于1?你们觉得图能回答这个问题吗?
生(齐声):不能。
师：这就是图的缺陷，它不能准确地、精细化地表示结果。当图解决不了的时候，我们可以用
数进行推理。既然“和”与1有关系，我们就从1开始想。
课件出示：
1++
师，我们可以把1想象成+、然后把第二个看成+。
课件出示；
师：继续将第二个分成+,像这样一层层分下去。课件出示：
师：第二个又可以分成
生：两个相加。
师：按这样的规律继续往下分，分得完吗?
生：分不完，能分无数个。
师：如果是无数个、没有尽头，可不可以用省略号表示?
课件出示：
生(齐声):可以!
师：读一读这个算式。
生：
师： 这个算式是由谁分出来的?
生：由1分出来的。
师：那么， 等于几?
生：等于1。(齐声，但不够坚定)
师：可能很多同学还没有完全理解这个算式为什么等于1,因此在感情上还无法接受这结果。没 关系!因为这个问题太难了，同学们到了初中、高中时还要继续学习。今天我们研究这个问题 的目的，是在寻求它等于几的过程中体会数和形之间的关系。回顾一下刚才的探究运程，刚开 始同学们看到这样一个算式，不知道等于几，谁帮助我们找到了感觉，找到了“和”与1有关系?
生：图形!
师：图形帮助我们发现按照这样的规律加下去，和越来越接近于1,甚至有同学想到等于1。 当图形不能精确地表示出和到底是等于1,还是接近于1的时候，谁又帮助我们找到了准确
结果?
生：数!
师：是的，数又帮助我们通过推理得出和就等于1。同学们,数和形有关系，你们觉得数和形之
间有着怎样的关系?
生：关系密切；你中有我，我中有你：互相帮助… ·.. ·
师：关系密切，你中有我、我中有你的本质，在于它们可以相互帮助。其实，在我们以前的学
习中，有很多地方体现出数形之间互相帮助的特点。
2.回顾以前学习中数形互助的例子
课件出示：
师：我们一起来回忆，当遇到比较难的问题时，我们通过画图帮助理解抽象的数量关系；学习几何 知识时，角因为有了度数,我们就知道它是什么角：两条直线之间距离相等，就说明这两条直线 是平行关系。这些例子都体现出数与形之间互相帮助。在实际生活中，也有很多地方用到数
形互助来解决问题。
(三)深入体会数无形时少直观，形无数时难人微
1.以形助数，解决销售问题
课件出示：
师：这是某超市2014年的饼干销售量统计表。如果你是超市经理，下一年你还会继续进货卖
这种饼干吗?
生：进吧。(学生回答时不是很多有底气)
师：只看数据，感觉不太强烈。把这些数据制成折线统计图，大家再来感受下。
课件出示
师：继续进货吗?为什么?
生：进!(齐声，坚定)因为销售量越来越多，是上升的趋势!
师：统计图呈现了销售量上升的趋势，所以大家决定继续进货，接着卖。在解决这个问题的时候
是谁帮助了谁?
生(齐声):图在帮助数!
2.以数解形，解决运输问题
师：用图中这辆卡车运沙坑里的沙子， 一次能将沙子全部拉走吗?老师把车厢的形状和沙坑的
形状简化出来,请你判断一下.
生：(沉默后)不知道。老师,能给我们数据吗?
师：想要看能不能拉走，需要借助数据算一算，是吗?
课件出示：
生：能拉走!车厢的容积是15立方米，沙坑的容积是14.7立方米。
师：解决这个问题时，谁帮助了谁?
生：数帮助了形。
师：同学们思考一下，在数与形互助的过程中，数的优势是什么?形的优势是什么?
生：数是准确的，形一目了然。
师：“数”能更精准地表达事物，形"能更加直观地表达事物。其实,华罗庚爷爷很早就说过这样
两句话：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”你能理解其中的含义吗?
生：只有数没有形，看不出来；只有形没有数,难算出来。
师：难算出来就是不具体，不能精确地表达。所以，后面还有两句话，请同学们读一读。
生：数形结合百般好，隔离分家万事休。
师：如果将数、形分家，什么事都做不了。其实，跳出数学看我们的生活，像这样完美结合的事 物有很多。例如，花和蜜蜂，花借蜜蜂传播花粉，蜜蜂采蜜维持生存：没有水土，树木不能生存 没有树木，水土面临流失。大自然中像这样相互依存、相互成全的事情有很多，只有这样相互
帮助，我们的大自然才更美好，社会才更和谐!好，这节课就上到这里。
